Провисшая гирлянда

[nravov]

Когда я предложил эту задачу в жж, то Авла сказал, что форма гирлянды называется каким-то специальным строительным термином. Ну Авла не математик, при всех его достоинствах.
Однако на днях известный израильский математик тоже назвал эту форму -- формой провисшей цепи. То есть решение задачи о гирлянде, оказывется, всё ещё неизвестно читающей публике.

Что ж, воспроизведу его ещё раз. Тем более что я самостоятельно её решил в девятом классе, когда мы втроём ехали на всесоюзную олимпиаду.

Задача на самом деле простая, хотя и требует известной внимательности. Надо просто аккуратно выписать условие равновесия малого участка верёвки в поле тяжести.

Ответ -- гиперболичаский косинус. Не знаю, почему он так страшно называется, это всего лишь сумма двух экспонент, ch(x) = ( e^x + e^-x ) / 2.

Comments

[lxe]

Название "цепная линия" (catenarian arch, catenary) устоялось с конца XVIII века.
Первый раз зафиксировано в переписке Томаса Пейна с Томасом Джефферсоном.
https://archive.ph/20120906145306/http://www.pballew.net/arithme8.html#catenary

[paserbyp]

Если кто-то гиперболичен, он склонен преувеличивать вещи, представляя их гораздо более серьезными, чем они есть на самом деле . Гиперболические утверждения — это как маленькие собачки с громким лаем: не воспринимайте их слишком серьезно. Гиперболический — это прилагательное, происходящее от слова «гипербола», что означает преувеличенное утверждение.

Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения: sh. ch.

Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы.

Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую.

В обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения sinhyp, coshyp, в русскоязычной литературе закрепились обозначения sh, ch, в англоязычной закрепились sinh, cosh.

По другой информации:

The first known calculation of a hyperbolic trigonometry problem is attributed to Gerardus Mercator when issuing the Mercator map projection circa 1566. It requires tabulating solutions to a transcendental equation involving hyperbolic functions.

The first to suggest a similarity between the sector of the circle and that of the hyperbola was Isaac Newton in his 1687 Principia Mathematica.

Roger Cotes suggested to modify the trigonometric functions using the imaginary unit to obtain an oblate spheroid from a prolate one.

Hyperbolic functions were formally introduced in 1757 by Vincenzo Riccati.

Мораль сей басни такова, что все источники сходятся на вкладе Винченцо Риккати(1757 году).

[nravov]

Не знал!

Джефферсон вообще был удивительным дядькой. Помню, фильм "Дик Трейси" был изрядно приправлен его хлёсткими фразами вроде "Лучше порядок без Закона, чем Закон без порядка".

Но значит, в те времена тоже ещё не знали аналитического решения и проектировали по лекалам.

[nravov]

Название тем не менее непонятно. Как из свойств гиперболы могут возникнуть экспоненты?

Аналогия с тригонометрическими функция действительно очень понятна и удобна:

Синус нечётный, как и гиперболический синус
Косинусы чётные, и обычный, и гиперболический.
Производная от синуса равна косинусу, у гиперболических тоже.
cos^2 + sin^2 = 1, ch^2 - sh^2 = 1

[lxe]

Знали. Аналитическое решение найдено и оглашено еще Лейбницем, Гюйгенсом и Бернулли.
Просто термин "цепная линия" не применялся, он моложе примерно на век.
https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary

[nravov]

Нет, не было предъявлено Гюйгенсом.

Maurer, Edward Rose (1914). "Art. 26 Catenary Cable".

Читайте свои ссылки, болтун.

[paserbyp]

Экспонента у кого-то, возможно у Винченцо Риккати, ассоциировалась с большим увеличением?

[lxe]

https://books.google.com/books?id=gxrzm6y10EwC&pg=PA66#v=onepage&q&f=false

Не ленитесь. Хоть и трудно отходить от старых привычек.

[nravov]

Это решение задачи о гармониках натянутой струны, что гораздо проще, это знал ещё Пифагор. Хотя конечно имеет некоторое отношение к гирлянде. Но где там гиперболический косинус, покажите пальцем.

Если бы решение было известно уже тогда, то никто бы не называл до сих пор форму провисшей верёвки "формой провисшей верёвки", язык не обмануть.

Так-то.

[nravov]

Тем более что он и сам, судя по его фамилии, был большой богач!

[paserbyp]

Винченцо Риккати (Кастельфранко-Венето, 11 января 1707 — Тревизо, 17 января 1775) — венецианский католический священник, математик и физик.

Его вклад заключался в разработке гиперболических функций для решений кубических уравнений, их производных и экспоненциальных функций. Ламберту иногда ошибочно приписывают первое введение гиперболических функций, однако он сделал это после вклада Риккати в 1770 году.Риккати не только ввел эти новые функции, но и вывел связанные с ними интегральные формулы. Затем он перешел к выводу интегральных формул для тригонометрических функций. Риккати вместе с Саладини также работали над розовыми кривыми(a rose or rhodonea curve is a sinusoid specified by either the cosine or sine functions with no phase angle that is plotted in polar coordinates. Rose curves or "rhodonea" were named by the Italian mathematician who studied them, Guido Grandi, between the years 1723 and 1728), которые впервые были постулированы Гранди. Как и его отец, Винченцо Риккати был искусен в гидротехнике. Его усилия и реализация проектов по борьбе с наводнениями спасли регионы вокруг Венеции и Болоньи.

[nravov]

Круто! Вообще не знал про такого. Молодец он.