Провисшая гирлянда
Feb. 21st, 2026 04:23 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
nravovКогда я предложил эту задачу в жж, то Авла сказал, что форма гирлянды называется каким-то специальным строительным термином. Ну Авла не математик, при всех его достоинствах.
Однако на днях известный израильский математик тоже назвал эту форму -- формой провисшей цепи. То есть решение задачи о гирлянде, оказывется, всё ещё неизвестно читающей публике.
Что ж, воспроизведу его ещё раз. Тем более что я самостоятельно её решил в девятом классе, когда мы втроём ехали на всесоюзную олимпиаду.
Задача на самом деле простая, хотя и требует известной внимательности. Надо просто аккуратно выписать условие равновесия малого участка верёвки в поле тяжести.
Ответ -- гиперболичаский косинус. Не знаю, почему он так страшно называется, это всего лишь сумма двух экспонент, ch(x) = ( e^x + e^-x ) / 2.
Однако на днях известный израильский математик тоже назвал эту форму -- формой провисшей цепи. То есть решение задачи о гирлянде, оказывется, всё ещё неизвестно читающей публике.
Что ж, воспроизведу его ещё раз. Тем более что я самостоятельно её решил в девятом классе, когда мы втроём ехали на всесоюзную олимпиаду.
Задача на самом деле простая, хотя и требует известной внимательности. Надо просто аккуратно выписать условие равновесия малого участка верёвки в поле тяжести.
Ответ -- гиперболичаский косинус. Не знаю, почему он так страшно называется, это всего лишь сумма двух экспонент, ch(x) = ( e^x + e^-x ) / 2.
no subject
Date: 2026-02-21 02:57 pm (UTC)Первый раз зафиксировано в переписке Томаса Пейна с Томасом Джефферсоном.
https://archive.ph/20120906145306/http://www.pballew.net/arithme8.html#catenary
no subject
Date: 2026-02-21 07:41 pm (UTC)Джефферсон вообще был удивительным дядькой. Помню, фильм "Дик Трейси" был изрядно приправлен его хлёсткими фразами вроде "Лучше порядок без Закона, чем Закон без порядка".
Но значит, в те времена тоже ещё не знали аналитического решения и проектировали по лекалам.
no subject
Date: 2026-02-21 07:56 pm (UTC)Просто термин "цепная линия" не применялся, он моложе примерно на век.
https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary
no subject
Date: 2026-02-21 10:12 pm (UTC)Maurer, Edward Rose (1914). "Art. 26 Catenary Cable".
Читайте свои ссылки, болтун.
no subject
Date: 2026-02-21 11:35 pm (UTC)Не ленитесь. Хоть и трудно отходить от старых привычек.
no subject
Date: 2026-02-21 03:01 pm (UTC)Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения: sh. ch.
Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы.
Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую.
В обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения sinhyp, coshyp, в русскоязычной литературе закрепились обозначения sh, ch, в англоязычной закрепились sinh, cosh.
По другой информации:
The first known calculation of a hyperbolic trigonometry problem is attributed to Gerardus Mercator when issuing the Mercator map projection circa 1566. It requires tabulating solutions to a transcendental equation involving hyperbolic functions.
The first to suggest a similarity between the sector of the circle and that of the hyperbola was Isaac Newton in his 1687 Principia Mathematica.
Roger Cotes suggested to modify the trigonometric functions using the imaginary unit to obtain an oblate spheroid from a prolate one.
Hyperbolic functions were formally introduced in 1757 by Vincenzo Riccati.
Мораль сей басни такова, что все источники сходятся на вкладе Винченцо Риккати(1757 году).
no subject
Date: 2026-02-21 07:49 pm (UTC)Аналогия с тригонометрическими функция действительно очень понятна и удобна:
Синус нечётный, как и гиперболический синус
Косинусы чётные, и обычный, и гиперболический.
Производная от синуса равна косинусу, у гиперболических тоже.
cos^2 + sin^2 = 1, ch^2 - sh^2 = 1
no subject
Date: 2026-02-21 10:23 pm (UTC)