Метод размерностей.
Mar. 15th, 2026 04:56 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
nravovЗадача о давлении в центре планеты является классической иллюстрацией метода размерностей.
В этом методе нужно просто взять все величины, от которых может зависеть ответ, и скомпановать их произведение в степенях необходимых для того чтобы размерность оказалась такой же как размерность искомой величины, в данном случае давления.
Ясно, что ответ зависит только от гравитационной постоянной G, плотности rho и радиуса планеты R.
Давление измеряется в Паскалях, или кг/(м×с^2). Размерность G -- м^3/(кг×с^2).
С секундами уже всё в порядке. Чтобы получить правильные килограммы, нужно G умножить на плотность в квадрате, получается кг/(м^3×с^2). Чтобы получилась размерность давления, осталось умножить на R^2.
То есть P = G × rho^2 × R^2.
Всё. И ничего другого получиться не может.
Все численные множители всегда порядка единицы. Это эмпирический закон природы, самый странный множитель который мне встречался это pi^4/128, и даже он как видите почти единица.
Метод чрезвычайно мощный. С его помощью наш великий Колмогоров посчитал турбулентность, не зная её детального механизма (его и сейчас не знают, лол).
А чуть менее великий я ещё в школе вычислил таким способом частоту колебаний натянутой струны, не имея ещё понятия о дифференциальных уравнениях.
В этом методе нужно просто взять все величины, от которых может зависеть ответ, и скомпановать их произведение в степенях необходимых для того чтобы размерность оказалась такой же как размерность искомой величины, в данном случае давления.
Ясно, что ответ зависит только от гравитационной постоянной G, плотности rho и радиуса планеты R.
Давление измеряется в Паскалях, или кг/(м×с^2). Размерность G -- м^3/(кг×с^2).
С секундами уже всё в порядке. Чтобы получить правильные килограммы, нужно G умножить на плотность в квадрате, получается кг/(м^3×с^2). Чтобы получилась размерность давления, осталось умножить на R^2.
То есть P = G × rho^2 × R^2.
Всё. И ничего другого получиться не может.
Все численные множители всегда порядка единицы. Это эмпирический закон природы, самый странный множитель который мне встречался это pi^4/128, и даже он как видите почти единица.
Метод чрезвычайно мощный. С его помощью наш великий Колмогоров посчитал турбулентность, не зная её детального механизма (его и сейчас не знают, лол).
А чуть менее великий я ещё в школе вычислил таким способом частоту колебаний натянутой струны, не имея ещё понятия о дифференциальных уравнениях.
